(логическое  умножение)

F = А Λ B

Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны входящие  в него простые высказывания. 

Например, рассмотрим составное высказывание "2*2=4 и 3*3=10". Первое простое высказывание (2*2=4) истинно (А=1), а второе высказывание (3*3=10) ложно (В=0), по таблице определяем, что логическая функция принимает значение  ложь (F=0), т.е. данное составное высказывание ложно.

(логическое  сложение)

F = А V B

Например, рассмотрим составное высказывание "2*2=4 или 3*3=10". Первое простое высказывание (2*2=4) истинно (А=1), а второе высказывание (3*3=10) ложно (В=0), по таблице определяем, что логическая функция принимает значение  истина (F=1), т.е. данное составное высказывание истинно.

(логическое отрицание)

F = ¬А

Например,

А=(2*2=4)=1(ИСТИНА)      ¬А = 0

В=(3*3=10)=0(ЛОЖЬ)           ¬В = 1

(логическое следование)

F = А => B

Логическое следование(импликация) образуется соединением двух высказываний в одно  с помощью оборота речи "если..., то ..."

(логическое равенство)

F = А  <=> B

Логическое равенство(эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно  с помощью оборота речи

"...тогда и только тогда, когда ..."

преобразования логических выражений

1. ¬¬А = А (закон двойного отрицание)
2. ¬(А Λ В) = ¬А V ¬B    ( законы
3. ¬(А V В) = ¬А Λ ¬B            Моргана)
4. А => В = ¬А V B
5. ¬(А => В) = А Λ ¬B
6. А <=> В =(А Λ B) V (¬А Λ ¬B)
7. А Λ ¬А = 0 (закон непротиворечия)
8. А V ¬А = 1 (закон исключенного третьего)

(А Λ В) ≡ (В Λ А) ;

(А V В) ≡ (В V А) ;

Законы ассоциативности:

(А V В) V С ≡ А V (В V С);

(А Λ В) Λ С ≡ А Λ (В Λ С);

Законы дистрибутивности:

А Λ (В V С) ≡ (А Λ В) V (А Λ С)

А V (В Λ С) ≡ (А V В) Λ (А V С)

Задача №43 стр. 59 :

Алеша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предложения:

Алеша: "Это сосуд греческий и изготовлен в V веке".     Боря: "Это сосуд финикийский и изготовлен в  III веке". Гриша: "Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке". Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предложений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

Решение:

А  = "Это сосуд греческий";  

B = " Изготовлен в V веке";

C = " Изготовлен в IV веке ";  

D = "Изготовлен в  III веке";

E = "Это сосуд финикийский ".                   

1. Если А =1(истина) , то В=0;     А=1,то Е=0, тогда D=1;     ¬А=0, С=0, а это не может быть, по условию ¬А или С истина.

2. Пусть А=0 и В=1;   Тогда Е=1 а D=0;   и  ¬А=1, то С=0;  в итоге получим  В=1 и Е=1, т. е. сосуд финикийский и изготовлен в V веке.

В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка - А, В, С и D. Известно, что:

1. Если А нарушил, то и В нарушил правила обмена валюты.
2. Если В нарушил, то и С нарушил или А не нарушил.
3. Если D не нарушил, то А нарушил, а С не нарушил.
4. Если D нарушил, то и А нарушил.

Кто из подозреваемых нарушил правила обмена валюты?  Решите задачу с помощью логических операций.

Решение:

1. А => B;
2. B => C V ¬А;
3. ¬D => A Λ ¬C;
4. D => A

Произведение всех высказываний  =1.

( А => B)Λ(B => C V ¬А)Λ(¬D => A Λ ¬C)Λ (D => A) = 1

а выражение справедлива тогда и только тогда, когда

А => B = 1;    B => C V ¬А) = 1;   ¬D => A Λ ¬C = 1;    D => A = 1;

Составим таблицу истинности для этого выражения:

A	B	C	D	А => B	D => A	C V ¬А)	B => C V ¬А)	A Λ ¬C	¬D => A Λ ¬C	F
0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0
0	0	0	1	1	0	1	1	0	1	0
0	0	1	0	1	1	1	1	0	0	0
0	0	1	1	1	0	1	1	0	1	0
0	1	0	0	1	1	1	1	0	0	0
0	1	0	1	1	0	1	1	0	1	0
0	1	1	0	1	1	1	1	0	0	0
0	1	1	1	1	0	1	1	0	1	0
1	0	0	0	0	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	1	0	1	1	1	0
1	0	1	0	0	1	1	1	0	0	0
1	0	1	1	0	1	1	1	0	1	0
1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0
1	1	0	1	1	1	0	0	1	1	0
1	1	1	0	1	1	1	1	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1

Ответ:   А=1,B=1,C=1,D=1,  т.е. все подозреваемые нарушили правила обмена валюты.